4/10
Formalizacija V3/2 in operatorji
Navedena Duchampova izjava o predstavi gibanja nas vodi h kubistični ideji multivida, h koeksistenci delov razkosane figure. Geometriziran vozel iz ravnih linij in s koti 60° nastopa v funkciji multividnih projekcij (sl. 225 B1-2, C1, 226 A1). To sproži niz optično zaznavnih in likovnih posledic. Novi vozel postane za vidno zaznavo optično sprejemljiv v kontekstu evklidskega prostora. Optični videz vozla postane evklidski na treh lokalnih prostorskih mestih. Vsebuje vse lastnosti zaznavnega prostora v izometrični perspektivični projekciji, kot so prostorsk plani, relacije levo-desno, spodaj- zgoraj, spredaj- zadaj. To je z zaznavnega stališča pomembno, saj je človekova vizualna percepcija izvorno vezana prav na lastnosti evklidske geometrije.
Slika 6: Razlike med evklidskim in 2DVP
A1: Model osmih manjših kock v večji kocki. A2,3: Relacije palic in kock v treh ravninah evklidskega prostora, frontalni, medialni in ortogonalni. B1: vozel s telesnino kvadratnega preseka je trianguliran torus z dvodimenzionalno luknjo. B2-5: Relacije palic vozla V3/2 v treh ravninah 2DVP. Iluzija premeščanja položajev v 2DVP nastane z zaporedno združitvijo dveh ali treh ravnin evklidskega prostora! Vsak vogal tribarja ali Reuterswärdovih kock izpolnjuje pogoje evklidskega prostora. (avtor risb 229 MD). C1, D1: Razlika med kockami, vloženimi v evklidski in vozelni prostor. C2, D2: Razlika med prostorskima križema in C3. D3: Razlika med oblikama središč obeh prostorov. Središče 2DVP je območje topološke luknje.
Status kock, prostorskega križa in središča v 2DVP: Najpomembnejša razlika obstaja v relacijah med kockami. V realnem prostoru evklidske geometrije formirajo tri kocke tri pravokotne relacije. Med tremi kockami obstaja ena pravokotna relacija (sl. 229 A1, A3, C1). V 2DVP kocke optično segajo druga v drugo, se hkrati prekrivajo in odkrivajo. Sunkovita izpodrivanja med Reuterswärdovimi kockami so psihološko primerljiva z metodo preklopov (sl. 229 D1, 230 A, B, C, D). Likovna psihologija te oblike preklapljanja ne pozna.
Razlog za eksistenco DVP: Središče evklidskega prostora je točka inverzije, ki je presečišče treh prostorskih ravnin: medialne, ortogonalne in frontalne. (sl. C2). Kako torej razsrediščiti nekaj neskončno majhnega kot je točka? Rešitev je v tem, da se namesto enodimenzionalnih linij v prikaz transformacije vpeljejo tridimenzionalne oblike - palice s kvadratnim presekom (sl. B1-5). Z uvajanjem debeline se pridobi mera za razločevanje središča kot presečišča linij od središča, ki ni več presečišče linij. Ta interpretacija topološko ni sporna. Novo središče je središče mimobežnih linij, lastnost pa odlikuje tako vozel kot 2DVP (sl. D3).
Aksiomatizacija 2D vozelnega prostora
Aksiomatizacijo 2DVP določa en aksiom: A1. Konstelacija treh kock tvori v vozelnem prostoru tri pravokotne odnose: a: položaj kock K1,K2 je pravokoten na položaj kock K2,K3; b: položaj kock K2,K3 je pravokoten na položaj kock K3,K1; in c: položaj kock K3,K1 je pravokoten na položaj kock K1,K2. Sledi zapis v formalni obliki: K(1,2) p K (2,3); K(2,3) p K (3,1); K(3,1) p K (1,2).
Iz aksioma sledi izpeljava teze: Evklidski prostor dovoljuje le eno od treh naštetih pravokotnih relacij (sl. 229 A3 in C1). Relacija kock na sl. (K1,K2) je pravokotna na položaj kock (K2,K3). To pa ne velja za relacije b in c, ker so postavljene pod kotom 45 o. Iz tega sledi da je geometrija vozelnega prostora lahko le lokalno evklidska (v treh evklidskih oknih).
Slika 7: Aksiomatizacija 2DVP
A: Vozel V3/2 z Reuterswärdovimi kockami. B: kocke formirajo vogalne elemente v tribarju. C: predelana in s številkami iz primera B dopolnjena risba Oscarja Reuterswärda, Opus 1 no 293 aa, 1934.[1] Kocka 5 se trikrat ponovi. (avtor risb MD).
Sklep: Položaji kock v 2DVP niso sporni z ozirom na evklidsko geometrijo. Torus v interpretaciji tribarja ali vozel V3/2 s telesnino kvadratnega preseka sta s stališča evklidske geometrije pravilna, ker upoštevata 5 aksiom o vzporednicah. Sporna sta z ozirom na koncept evklidskega prostora kot nepredirne prostorske entitete brez luknje.
[1] Pečjak, V.; Nastajanje psihologije, cit., str. 205